Integrales

El proceso de integración de una función, f(x), es el proceso inverso al de derivación; es decir, una integral de dicha función es otra función, F(x), denominada primitiva, que cumpla que F´(x)=f(x). La primera característica evidente de este proceso es que la primitiva de una función no es única, ya que si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es G(x)=F(x)+c, siendo c un número, ya que su derivada es G´(x)=F´(x). Así pues, en general al expresar el resultado de integración, siempre se le añade una c, es decir, una constante. De este modo, la primitiva, por ejemplo, de x es x22+c$\frac{x^2}{2}+c$, lo que se expresa de la siguiente manera:

∫xdx=x22+c$\int xdx=\frac{x^2}{2}+c$

Las propiedades básicas de la integración son las siguientes:

• La integral de la suma de funciones es igual a la suma de la integral de las funciones.
  ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx${\displaystyle \int \left(f(x)+g(x)\right)dx=}{\displaystyle \int f(x)dx+{\displaystyle \int g(x)dx}}$
• La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral de la función.
  ∫k⋅f(x)dx=k∫f(x)dx${\displaystyle \int k·f(x)dx=k{\displaystyle \int f(x)dx}}$

Por ejemplo:

∫(3x2+5)dx=∫3x2dx+∫5dx=3∫x2dx+5x=x3+5x+c${\displaystyle \int \left(3x^2+5\right)dx=}{\displaystyle \int 3x^{2}dx+{\displaystyle \int 5dx=}}3{\displaystyle \int x^{2}dx+5x=}{x}^3+5x+c$

Además, de manera evidente puede deducirse que:

• si g(x)=∫f(x)dx$g(x)={\displaystyle \int f(x)dx}$ entonces g’(x) = f(x
• La regla de la cadena (es decir, (fog)' = (f'og) · g') nos permite escribir que:

∫(f'og)(x)g'(x)dx=(fog)(x)${\displaystyle \int (f\text{'}og)(x)g\text{'}(x)dx}=(fog)(x).$

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